Погрешности в лабораторных работах: классификация и расчёт

Классификация погрешностей

Любой результат измерения отличается от истинного значения измеряемой величины. Разница между измеренным и истинным значением называется погрешностью. По характеру проявления погрешности делятся на три типа: случайные, систематические и грубые (промахи).

Случайная погрешность изменяется непредсказуемо от опыта к опыту: её причины — флуктуации температуры, дрожание руки экспериментатора, помехи в электрической цепи, тепловой шум приборов. При многократном повторении измерения случайные отклонения усредняются и стремятся к нулю.

Систематическая погрешность сохраняет знак и величину при повторных измерениях: причины — неправильная калибровка прибора, постоянное смещение нуля, температурное искажение, влияние внешнего поля. Систематическую ошибку нельзя устранить усреднением — её надо выявлять и компенсировать поправками.

Грубая погрешность (промах) — это резкое отклонение одного результата от остальных, вызванное ошибкой записи, неисправностью прибора, неверным считыванием. Промахи отсеиваются перед основной обработкой данных. По другому признаку погрешности делятся на абсолютные (в единицах измеряемой величины: ΔR = 0,3 Ом) и относительные (в процентах: δR = 1,5%).

Приборная погрешность и её источники

Приборная погрешность характеризует прибор как таковой и указывается в паспорте: для аналоговых стрелочных приборов — через класс точности, для цифровых — через основную погрешность (как правило, в форме «X% от показания + N единиц младшего разряда»).

Класс точности аналогового прибора (1,0; 1,5; 2,5 и т.д.) равен максимальной относительной приведённой погрешности в процентах. Если вольтметр класса 1,5 с пределом 50 В показывает 10 В, абсолютная приборная погрешность: Δ_приб = (1,5/100) · 50 = 0,75 В. То есть истинное значение лежит в диапазоне 10 ± 0,75 В. Относительная погрешность при этом велика — 7,5%, что показывает: измерять на пределе шкалы, далёком от максимального, плохо. Хорошее правило — выбирать диапазон, при котором показания приходятся на 60–95% от максимума шкалы.

Для цифровых приборов производитель указывает: «0,5% от показания + 3 единицы младшего разряда». Если мультиметр в диапазоне 4 В показывает 1,234 В, при разрешении 0,001 В: Δ_приб = 0,005 · 1,234 + 3 · 0,001 = 0,00617 + 0,003 = 0,00917 В ≈ 0,01 В. Запись: U = 1,23 ± 0,01 В.

Когда паспортные данные недоступны, для аналоговых приборов в качестве оценки берут половину цены деления (для линейки с миллиметровой шкалой — 0,5 мм). Для цифровых приборов без указания основной погрешности — одну единицу младшего разряда.

Случайная погрешность и её расчёт

Случайная погрешность вычисляется по результатам серии измерений одной и той же величины. Стандартная процедура: проводятся n измерений (обычно n = 5–10), затем считаются среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение (СКО) среднего.

Среднее арифметическое: x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n.

СКО отдельного измерения (стандартное отклонение выборки): s = √[(Σ(xᵢ − x̄)²)/(n − 1)].

СКО среднего (стандартная ошибка среднего): s_x̄ = s/√n.

Случайная погрешность среднего с заданной доверительной вероятностью P: Δ_случ = t(P, n) · s_x̄,

где t(P, n) — коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и выбранной доверительной вероятности P. Стандартные значения для P = 0,95: t(0,95; 3) = 4,30; t(0,95; 5) = 2,78; t(0,95; 7) = 2,45; t(0,95; 10) = 2,26; t(0,95; 20) = 2,09. Чем больше измерений и чем ниже требуемая доверительная вероятность, тем меньше t.

Для лабораторных работ стандартом считается P = 0,95. Это значит: с вероятностью 95% истинное значение лежит в построенном интервале x̄ ± Δ_случ. Для физпрактикума младших курсов иногда используется P = 0,68 (одно среднеквадратичное отклонение), но это всегда уточняется в методичке.

Объединение случайной и приборной погрешностей

Полная погрешность результата измерения объединяет случайную и приборную составляющие по правилу сложения квадратов:

Δ = √(Δ_случ² + Δ_приб²).

Эта формула предполагает, что случайная и приборная погрешности независимы и нормально распределены. На практике она применима почти всегда. Например, при многократных измерениях напряжения получено: x̄ = 5,23 В, Δ_случ = 0,04 В. Приборная погрешность вольтметра Δ_приб = 0,02 В. Полная погрешность: Δ = √(0,04² + 0,02²) = √(0,0016 + 0,0004) = √0,0020 = 0,045 В. Запись: U = 5,23 ± 0,05 В.

Если одна из составляющих превышает другую более чем в 3 раза, второй можно пренебречь — её вклад в общую погрешность будет менее 5,5%. Если случайная погрешность велика, нужно увеличить число измерений. Если велика приборная — заменить прибор или сменить диапазон.

Погрешность косвенных измерений

Большинство величин в лабораторных работах измеряется косвенно — через формулу, связывающую их с прямо измеряемыми. Например, плотность ρ = m/V вычисляется через массу и объём. Погрешность косвенной величины рассчитывается по формуле переноса погрешностей.

Для функции y = f(x₁, x₂, ..., xₙ) при независимых погрешностях аргументов:

Δy = √[Σ(∂f/∂xᵢ · Δxᵢ)²],

где ∂f/∂xᵢ — частная производная функции по i-му аргументу. Эта формула общая. Для типовых функций удобно использовать готовые правила.

Для произведения y = a · b: относительная погрешность δy = √(δa² + δb²), где δ = Δ/x — относительная погрешность.

Для частного y = a/b: формула та же — δy = √(δa² + δb²).

Для степенной функции y = aⁿ: δy = |n| · δa.

Для суммы или разности y = a ± b: абсолютная погрешность Δy = √(Δa² + Δb²) (квадратичное сложение абсолютных погрешностей).

Пример. Объём цилиндра V = π · d² · h / 4. Измерены: d = 12,50 ± 0,02 мм, h = 25,00 ± 0,05 мм. Тогда δd = 0,02/12,50 = 0,0016, δh = 0,05/25,00 = 0,002. Относительная погрешность объёма: δV = √((2 · δd)² + δh²) = √((2 · 0,0016)² + 0,002²) = √(0,00001024 + 0,000004) = √0,00001424 ≈ 0,00377 ≈ 0,4%. Объём: V = π · 12,50² · 25,00 / 4 = 3067,96 мм³. Абсолютная погрешность ΔV = 3067,96 · 0,00377 ≈ 11,6 мм³. Запись: V = 3068 ± 12 мм³.

Правила округления и записи результата

Корректная запись итогового результата подчиняется трём правилам.

Первое правило: погрешность округляется до одной значащей цифры, если эта цифра 3 или больше; до двух значащих цифр, если первая значащая цифра 1 или 2. Например, Δ = 0,034 округляется до 0,03 (одна значащая цифра). Δ = 0,0123 округляется до 0,012 (две значащие цифры). Это связано с тем, что вторая значащая цифра погрешности значима, только когда первая мала.

Второе правило: среднее значение округляется до того же десятичного разряда, что и погрешность. Если Δ = 0,03 В, то U = 5,2354 округляется до 5,24 В. Запись U = 5,235 ± 0,03 В неверна: лишний разряд в среднем значении не имеет смысла.

Третье правило: единицы измерения ставятся один раз после скобок, если среднее и погрешность имеют одинаковую размерность. Запись: «U = (5,24 ± 0,03) В» или «U = 5,24 ± 0,03 В». Не: «5,24 В ± 0,03 В».

Степень десяти выносится за скобки: ρ = (1,72 ± 0,08) · 10⁻⁸ Ом·м, а не 1,72 · 10⁻⁸ ± 8 · 10⁻¹⁰.

Сопоставление с табличным значением

После получения окончательного результата с погрешностью его сопоставляют с теоретическим или табличным значением. Сопоставление формализовано: считается отклонение в единицах погрешности.

Δ_срав = |x_изм − x_табл| / Δ_изм,

где Δ_срав — относительное отклонение в единицах погрешности. Если Δ_срав < 1, измерение согласуется с табличным значением в пределах одной погрешности. Если 1 ≤ Δ_срав < 2, согласие неубедительное, но не исключённое (вероятность такого случайного отклонения около 32% при нормальном распределении). Если 2 ≤ Δ_срав < 3, согласие плохое (вероятность 5%). Если Δ_срав ≥ 3, согласие отвергается — нужно искать источник систематической ошибки.

Пример. Получено g = 9,73 ± 0,05 м/с². Табличное значение для широты 55° (Москва): g_табл = 9,816 м/с². Δ_срав = |9,73 − 9,816|/0,05 = 0,086/0,05 = 1,72. Отклонение на 1,72 погрешности — согласие слабое, нужно искать причину систематического занижения. Возможные причины: трение в подвесе маятника, неточность определения длины подвеса, рассогласование таймера.

Анализ источников ошибок

Когда полученный результат расходится с теорией более чем на 2 погрешности, в отчёт обязательно включается обсуждение возможных источников. Список типовых источников систематических ошибок: неучтённое сопротивление амперметра при измерении малых сопротивлений; неучтённое сопротивление подводящих проводов; температурный дрейф прибора, не вышедшего на режим; параллакс при считывании показаний стрелочного прибора; погрешность нуля прибора; конечное входное сопротивление вольтметра, шунтирующее измерительный участок; нелинейность преобразователя; наводки от сети 50 Гц.

Хороший отчёт не просто перечисляет источники, а оценивает их количественно. «Конечное входное сопротивление вольтметра R_вх = 10 МОм при измеряемом сопротивлении R = 100 кОм приводит к относительной ошибке R/R_вх = 1%, что объясняет половину наблюдаемого расхождения». Такой анализ показывает, что студент понимает, откуда берётся погрешность, а не просто следует ритуалу.

Если вам нужно обработать данные лабораторной работы и корректно рассчитать погрешности — специалисты «Сдал на 5» подготовят отчёт с полным расчётом и согласованной записью результата — перейти к оформлению заказа.